定義数や文字, 変数を$+$, $-$, $\times$, $\div$などで規則にしたがってつなげたもの。

定義等号を含む式。

定義不等号$\lt$, $\gt$, $\leqq$, $\geqq$を含む式。

定義$-1$, $a$, $3x^2$, $-2ax^2$のような, 数や文字, またはそれらの積。

定義単項式の数の部分。

定義単項式の掛け合わせた文字の個数。
* 特定の文字に着目して次数を考えることもある。
* 数だけの単項式の次数は0とする。
* 0の次数は考えない。

公理単項式の和として表される式。

定義多項式における各単項式。

定義単項式または多項式のこと。
* 単項式を項が1つの多項式とみなし, 多項式を整式と同じ意味で用いることもある。

定義整式の項のうち, 文字の部分が同じである項。

定義整式の同類項を1つにまとめて, 式を簡単にすること。

定義整式において最も次数の高い項の次数。
* 次数が$n$の整式を$n$次式という。
* 特定の文字に着目して, 他の文字は数と同様に扱うことがある。この場合, 着目した文字に対する次数を考える。

定義整式をある文字に着目したときの, 項の次数が低くなる順。

定義整式をある文字に着目したときの, 項の次数が高くなる順。

定義$a$を$n$個掛けたものを$a^n$と表す。
つまり,
$$\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}_{n個} = a^n$$

定義$a$をいくつか掛けたもの。

定義$a^n$の$n$のこと。

法則$m$, $n$が正の整数のとき,
$a^m a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$

定義いくつかの整式の積を1つの整式に表すこと。

定義$a_1$, $a_2$, $a_3$の文字を含む式において, $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1$のように, $a_1\to a_2\to a_3\to a_1\to \cdots$と続くような並び。アルファベットの$a$, $b$, $c$のような一般的な並び順をもつ文字に対しても用いる。

公式 $$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$
$$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$
$$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$$
$$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$$

公式 $$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$
$$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$$
$$(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$$

定義整式を1次以上の整式の積の形に表すこと。

定義ある整式を因数分解したときの積をつくっている各整式をもとの整式の因数という。

公式 $$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$$
$$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$$
$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$
$$x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$$
$$acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)$$

公式 $$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a+b+c)^2$$
$$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$$
$$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3$$
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$

定義$1$, $2$, $3$, $\cdots$。

定義$\cdots$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $\cdots$。
自然数$1$, $2$, $3$, $\cdots$を正の整数, $-1$, $-2$, $-3$, $\cdots$を負の整数とよぶので, 正の整数と負の整数と0を合わせたものともいえる。

定義整数$m$と$0$でない整数$n$を用いて,
$$\frac{n}{m}$$
の形で表される数。

定義$0.1$や$3.14$などのように"."を含む数。この"."を小数点という。

定義ある小数において, その小数から整数部分を引いた数。

定義ある小数において, 小数点より左側だけを取り出した数。

定義小数第何位かで終わる小数。

定義小数部分が無限に続く小数。

定義整数部分の大きな位から1の位まで, そして小数第1位, 第2位と, 順に数字をみていったとき, ある数字以降で同じ数字の並びが繰り返し現れ続ける小数。

定義循環しない無限小数で表される数。

補足実数を細かく分類すると下のようになる

このうち, 実数, 有理数, 無理数, 整数, 自然数を考えることが多いので, その数だけに着目し, もう少しみやすくまとめると下のようになる

無理数と有理数の大きさは, 無理数のほうが有理数より多いという意味を含めているが, 正しい比率では無くあくまで気持ちの分だけ大きくかいている。

定義同じ条件でくり返すことができ、その結果が偶然によって決まる実験。

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特に確率では、最初の言葉の定義の認識不足から全体がもやっとした理解になってしまうということは少なくありません。
逆に言葉の理解がきちんと出来ていると、かなりすっきり理解できるようになる部分がたくさんあります。

そんな確率、最初の定義。
試行。

定義ある試行について起こりうる全ての場合を要素とする集合。

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高校の数学ではこの標本空間という言葉はあまり使いませんが、
「標本空間」を理解してと、この後に出てくる「事象」と「集合」の関係がすっきり分かります。
事象の前に「標本空間」。いかがでしょうか？

定義標本空間の部分集合。

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事象は集合と一緒にいきなり理解しようとすると、なかなかとらえづらいのですが、
「標本空間」を使うと、とてもすっきり理解することができます。

言葉のイメージとしては、「事象＝試行の結果」ということなのですが、
さらにここから、より正確な表現をイメージとともにつかんでおくことが、今後確率を理解する非常に重要なポイントです。

定義標本空間と同じ。ただし、事象の意味合いで用いる場合には全事象という。

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全事象は単に「標本空間」の見方を変えたものです。

「事象とは標本空間の部分集合」
この視点がもてていれば全事象も自然と受け入れられるはずです。

定義標本空間の1個の要素からなる集合。

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確率においてとても重要な役割を果たす根元事象。
これも結局のところ事象ですから、標本空間の部分集合というわけです。

さて、
そろそろ標本空間の部分集合が事象という見方にも、
いつの間にか慣れていることに気づくはずです。

定義標本空間の要素を含まない事象。

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事象は集合。
集合において空集合という集合がありましたが、「空事象」というのはこの空集合に対応しています。

事象に対して、集合的な見方を強めたものはこれからいくつか出てきます。

事象は集合というわけですから、シンプルに集合として扱っていこうというわけなんですが、
まぁ「事象」という言葉に「集合」的な雰囲気が感じられないので、最初だけ少し抵抗があるかもしれません。

定義「同じくらい起こることが期待できる」こと。

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「同様に確からしい」かどうかというのは確率を考えるうえでおそらくもっとも大切な部分です。
それにも関わらず、同様に確からしいかどうかというのはなんとなく感覚で行ってしまいます。

そうならないためには、「確かに同様に確からしくないならまずいな」という感覚を早い段階からつかんでおくことが重要です。

余談標本空間のおかげで、
事象のことを考えるということが、集合を考えることだということが自然に感じられ、
また逆に、集合をみて事象だと、とらえることが当たり前に感じられるようになりました。

これで一旦、標本空間の役割はおしまいです。
標本空間に別れを

定義全事象$U$のどの根元事象も同様に確からしいとき,
$$\mathrm{P}(\mathrm{A}) = \frac{n(\mathrm{A})}{n(\mathrm{U})}=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}$$

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確率は同様に確からしいかどうかのチェックありきだということが、最初の段階でわかり、
習慣として、同様に確からしいことが分かってないともやもやするようになっていれば、
確率は格段に理解しやすくなります。

ついに確率。

定義事象$A$, $B$におてい, 事象$A$と$B$がともに起こる事象。つまり、$A\cap B$。

定義事象$A$, $B$において, 事象$A$または$B$が起こるという事象。つまり、$A\cup B$。

定義事象$A$と$B$が同時に起こることがないとき, つまり, $A \cap B = \phi$であるとき, $A$と$B$は互いに排反である, または, 互いに排反事象であるという。

定義事象$A$, $B$, $C$のうち, どの2つの事象も互いに排反であるとき, $A$, $B$, $C$は排反であるという。

性質すべての根元事象が同様に確からしい試行において、全事象を$U$とする。
任意の事象$A$に対して,
$$0 \leqq P(A) \leqq 1$$

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《証明》
$U$, $A$の根元事象の個数は$n(U)$, $n(A)$であり、
$$0 \leqq n(A) \leqq n(U)$$
が成り立つので、両辺を$n(U)$で割って,
$$0 \leqq \frac{n(A)}{n(U)} \leqq 1$$
つまり,
$$0 \leqq P(A) \leqq 1$$

性質すべての根元事象が同様に確からしい試行において、全事象を$U$とすると,
$$P(U) = 1$$

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《証明》
$$\begin{eqnarray} P(U) &=& \frac{n(U)}{n(U)}\\ &=& 1 \end{eqnarray}$$

性質すべての根元事象が同様に確からしい試行において、全事象を$U$とすると,
$$P(\phi) = 0$$

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$$\begin{eqnarray} P(\phi) &=& \frac{n(\phi)}{n(U)}\\ &=& \frac{0}{n(U)}\\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

定理すべての根元事象が同様に確からしい試行において、全事象を$U$, 2つの事象を$A$, $B$とする。事象$A$, $B$が互いに排反であるとき,
$$P(A\cup B) = P(A) + P(B)$$

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《証明》
$$n(A\cap B) = \phi$$
より,
$$n(A\cup B) = n(A) + n(B)$$
であるから,
$$\begin{eqnarray} P(A\cup B) &=& \frac{n(A\cup B)}{n(U)}\\ &=& \frac{n(A) + n(B)}{n(U)}\\ &=& \frac{n(A)}{n(U)} + \frac{n(B)}{n(U)}\\ &=& P(A) + P(B) \end{eqnarray}$$

定理すべての根元事象が同様に確からしい試行において、全事象を$U$, 3つの事象を$A$, $B$, $C$とする。事象$A$, $B$, $C$が互いに排反であるとき,
$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$$

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《証明》
$$\begin{eqnarray} P(A \cup B \cup C) &=& P(A \cup (B \cup C))\\ &=& P(A) + P(B\cup C)\\ &=& P(A) + (P(B) + P(C))\\ &=& P(A) + P(B) + P(C) \end{eqnarray}$$

公式すべての根元事象が同様に確からしい試行において, 全事象を$U$, 2つの事象を$A$, $B$とするとき,
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$

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《証明》
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)$$
より,
$$\begin{eqnarray} P(A \cup B) &=& \frac{n(A \cup B)}{n(U)}\\ &=& \frac{n(A) + n(B) - n(A\cap B)}{n(U)}\\ &=& \frac{n(A)}{n(U)} + \frac{n(B)}{n(U)} - \frac{n(A\cap B)}{n(U)}\\ &=& P(A) + P(B) - P(A\cap B) \end{eqnarray}$$